Question

【题目】已知函数（）.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；

（2）若对于任意且，都有恒成立，求的取值范围.

（3）若对于任意，都有成立，求整数的最大值.

（其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）由题意得：，由题意可得，解得.

（2）因为，所以，

记，可知在上单调递增.

所以在上恒成立，

即在上恒成立，记，即可求得的取值范围.

（3）若对于任意，都有成立，

所以对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

令，利用导数研究函数的性质，即可得到整数的最大值.

详解：

（1）由题意得：，

又曲线在处的切线与直线平行，

所以，解得.

（2）因为，所以，

记，又因为且，

所以在上单调递增.

所以在上恒成立，

即在上恒成立，记，

所以，令，解得，

因为当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，取到最大值，

所以.

（3）若对于任意，都有成立，

所以对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

令，所以，

再令，所以在恒成立，

所以在上单调递增，

又，，

所以必存在唯一的解，使得，

即，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

因为，所以，

又因为，所以的最大整数为，

所以整数的最大值为.