Question

已知函数f（x）=alnx-x²，a∈R，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，小于0，得到增区间和减区间；
（2）x=1时显然成立，当x＞1时，运用分离参数，得到当x＞1时，a≤

x2

lnx

恒成立．令g（x）=

x2

lnx

，求出导数，求出单调区间和极值、最值，令a不大于最小值，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=alnx-x²的导数f′（x）=

a

x

-2x=

a-2x2

x

（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）递减，则f（x）的单调减区间为（0，+∞），无单调增区间；
当a＞0时，x＞

a 2

时，f′（x）＜0，0＜x＜

a 2

时，f′（x）＞0，
则有f（x）的单调减区间为(

a 2

，+∞)，单调增区间为(0，

a 2

)；
（2）x≥1时，f（x）≤0恒成立即为x≥1时，alnx≤x²恒成立，
当x=1时，显然成立，当x＞1时，a≤

x2

lnx

恒成立．
令g（x）=

x2

lnx

，g′（x）=

2xlnx-x

(lnx)2

，当x＞

e

时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当1＜x＜

e

时，g′（x）＜0，g（x）递减，
即有x=

e

，g（x）取得极小值，也为最小值，且为

e

1 2

=2e，
则有a≤2e．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．