Question

是否存在同时满足以下条件的复数z₁，z₂；
（1）

z1- . z1

z2- . z2

=0；（2）

2

z2+6

=

.

z2

+6；（3）z₁z₂²+z₂+2=0，如果不存在说明理由；如果存在，请求出z₁和z₂．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：由（1）可得z₁ 是实数，z₂不是实数，可设z₁=a，且a∈R，z₂=c+di，c、d∈R，d≠0．由（2），可得 c²+d²+12c=-34．由（3）可得 ac²-ad²+c+2=0，且2cd+d=0．解方程组可得d无解，可得不存在同时满足条件的复数z₁，z₂．

解答： 解：由（1）

z1- . z1

z2- . z2

=0 可得z₁=

.

z1

，且z₂≠

.

z2

，故z₁ 是实数，z₂不是实数，
故可设z₁=a，且a∈R，z₂=c+di，c、d∈R，d≠0．
由（2）

2

z2+6

=

.

z2

+6，可得|z2|2+6（z₂+

.

z2

）=-34，即 c²+d²+12c=-34．
由（3）z₁z₂²+z₂+2=0，可得a（c²-d²+2cdi ）+c+di+2=0，即 ac²-ad²+c+2+（2cd+d）i=0，
∴ac²-ad²+c+2=0，2cd+d=0．
解得c=-

1

2

，d²=-

113

4

，故d不存在，故不存在同时满足条件的复数z₁，z₂．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．