Question

设数列{a_n}的首项a₁为常数，且a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N⁺）．
（1）证明：{a_n-

3n

5

}是等比数列；
（2）若a₁=

3

2

，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的函数特性,等差数列的通项公式

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；
（3）运用数列{a_n}的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围．

解答： （1）证明：因为

an+1- 1 5 •3n+1

an- 1 5 •3n

=

2 5 •3n-2an

an- 1 5 •3n

=-2，
所以数列{a_n-

3n

5

}是等比数列；
（2）解：{a_n-

3n

5

}是公比为-2，首项为a₁-

3

5

=

9

10

的等比数列．
通项公式为a_n=

3n

5

+（a₁-

3

5

）（-2）^n-1=

3n

5

+

9

10

•(-2)n-1
若{a_n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即2[

3n+1

5

+

9

10

(-2)n]=

3n

5

+

9

10

(-2)n-1+

3n+2

5

+

9

10

(-2)n+1
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差数列．  
（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，
即

3n+1

5

+(a1-

3

5

)(-2)n＞

3n

5

+（a₁-

3

5

）（-2）^n-1对任意自然数均成立．
化简得

4

15

•3n＞-(a1-

3

5

)(-2)n，
当n为偶数时a1＞

3

5

-

4

15

(

3

2

)n，
因为p(n)=

3

5

-

4

15

(

3

2

)n是递减数列，
所以p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；     
当n为奇数时，a1＜

3

5

+

4

15

(

3

2

)n，
因为q(n)=

3

5

+

4

15

(

3

2

)n是递增数列，
所以q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．