Question

已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求方程f（x）=1的解集．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x需满足：

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，可得函数的定义域；
（2）计算f（-x），观察是否等于±f（x），再由奇偶性定义即可得到；
（3）方程f（x）=1可化为lg（1+x）-lg（1-x）=1，变形为lg

1+x

1-x

=1，进一步得出

1+x

1-x

=10，解方程即可．

解答： 解：（1）要使函数有意义，x需满足：

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
所以函数的定义域为（-1，1）
（2）函数f（x）为奇函数．
理由如下：函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
∵定义域为（-1，1），∴关于原点对称，
∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
则f（x）为奇函数．
（3）方程f（x）=1可化为lg（1+x）-lg（1-x）=1，
∴lg

1+x

1-x

=1，∴

1+x

1-x

=10，解得x=

9

11

，
∴方程的解集为{x|x=

9

11

}

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，注意首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，考查运算能力，属于基础题和易错题．