Question

设函数f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）=f（x）-g（x）的定义域并判断奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，则函数G（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由已知得f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），故得-2＜x＜2，由f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）由a=2，先求G（x）=log₂（4-x²）．由4-x²≥0可解得-2≤x≤2，有log₂（4-x²）≤2．

解答： 解：（1）∵f（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴

2+x＞0 2-x＞0

，即-2＜x＜2，
故函数f（x）-g（x）的定义域为（-2，2），
函数f（x）-g（x）为奇函数，
∵f（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴f（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[f（x）-g（x）]，
即函数f（x）-g（x）为奇函数．
（2）∵a=2
∴G（x）=f（x）+g（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）=log₂（2-x）（2+x）=log₂（4-x²）．
∴由4-x²≥0可解得-2≤x≤2
∴log₂（4-x²）≤2
∴函数G（x）=f（x）+g（x）的值域为（-∞，2]．

点评：本题主要考察了函数奇偶性的判断，函数值域的解法，属于基本知识的考查．