Question

已知下列四个命题
①在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
②若b²=ac，则a，b，c成等比数列；
③若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n+1，则数列{b_n}从第二项起成等差数列；
④若△ABC为锐角三角形，则cosA＜sinB且cosB＜sinA；
其中正确的命题是

 

（请填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由三角形中的大边对大角结合正弦定理说明①正确；
②举例说明②错误；
③由数列的前n项和求出其通项公式说明③正确；
④由三角函数的诱导公式结合正弦函数在(0，

π

2

)上的单调性说明④正确．

解答： 解：①在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB，命题①正确；
②若b²=ac，则a，b，c成等比数列错误，如0=0×1，数列0，0，1不是等比数列，命题②错误③；
③若数列{b_n}的前n项和Sn=n2+2n+1，则a₁=S₁=4，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，n=1时不成立．
∴数列{b_n}从第二项起成等差数列，命题③正确；
④∵三角形ABC是锐角，
∴角A、B、C均为锐角，∴A+B＞

π

2

，即A＞

π

2

-B，
根据正弦函数的单调性可知
sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即sinA＞cosB
同理可得sinB＞cosA，命题④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了等差数列和等比数列的判定方法，是中档题．