Question

如图，E，F是边长为3的正方形ABCD的边AD上两个点，且AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若|CH|²：|CE|²=9：10，则AE的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：立体几何

分析：通过建立直角坐标系，利用直线的方程可得交点G，H的坐标，利用两点之间的距离公式可得|CH|，|CE|，再利用|CH|²：|CE|²=9：10，解出即可．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
设E（a，3）（0＜a＜3），则F（3-a，3）．
直线BD的方程：y=x，
CF的方程为：y=

3-0

3-a-3

(x-3)，化为y=-

3

a

(x-3)，
联立

y=x y=- 3 a (x-3)

，解得G(

9

3+a

，

9

3+a

)．
直线AG的方程为：y=

3- 9 3+a

0- 9 3+a

x+3，化为y=-

a

3

x+3．
直线BE的方程为：y=

3

a

x，
联立

y=- a 3 x+3 y= 3 a x

，解得H(

9a

9+a2

，

27

9+a2

)．
|CH|=

(3- 9a 9+a2 )2+( 27 9+a2 )2

，
|CE|=

(3-a)2+9

．
∵|CH|²：|CE|²=9：10，
∴10[(3-

9a

9+a2

)2+(

27

9+a2

)2]=9[（3-a）²+9]
解得a=1．
∴|AE|=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了建立直角坐标系利用直线的方程可得交点的坐标、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．