Question

如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD=3，BD=CD=2．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，由已知得四边形BHCD是正方形，且AH=1，以D为原
点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，以垂直于DB，DC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AD⊥BC．
（2）求出平面ABC的法向量的平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角B-AC-D的余弦值．

解答： （1）证明　作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，
由已知得四边形BHCD是正方形，且AH=1，以D为原
点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
以垂直于DB，DC的直线为z轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，则B（2，0，0），
C（0，2，0），D（0，0，0）A（2，2，1），
所以

BC

=（-2，2，0），

DC

=（0，2，0），

AC

=（-2，0，-1），

DA

=（2，2，1），
因此

BC

•

DA

=-4+4=0，所以AD⊥BC．
（2）解：设平面ABC的法向量为

n1

=（x，y，z），
则由

n1

₁⊥

BC

知：

n1

•

BC

=-2x+2y=0，
同理由

n1

⊥

AC

知：

n1

•

AC

=-2x-z=0，
可取

n1

=（1，1，-2），
同理，可求得平面ACD的一个法向量为

n2

=（1，0，2），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1+4

6 • 5

=

30

6

，
即二面角B-AC-D的余弦值为

30

6

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法解决面面角问题．