Question

已知函数f（x）=ax-1-2lnx．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2，求证：函数f（x）在（0，e）上无零点．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）先求f（x）=x-1-2lnx的定义域，求导f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

，从而由导数确定最小值；
（2）求导f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，从而确定函数的单调性与最值，从而证明函数f（x）在（0，e）上无零点．

解答： 解：（1）由题意，f（x）=x-1-2lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

，
故当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
当x＞2时，f′（x）＞0，
故f_min（x）=2-1-2ln2=1-2ln2；
（2）证明：f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，
故当0＜x＜

2

a

时，f′（x）＜0，
当

2

a

＜x＜e时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，

2

a

）上是减函数，在（

2

a

，e）上是增函数；
又∵f（

2

a

）=a•

2

a

-1-2ln

2

a

=1-2ln

2

a

，
∵a≥2，∴0＜

2

a

≤1，
∴1-2ln

2

a

≥1；
∴f（x）≥1；
故函数f（x）在（0，e）上无零点．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．