Question

已知⊙F₁：（x+1）²+y²=

1

9

，⊙F₂：（x-1）²+y²=

121

9

，椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂分别为椭圆C的两个焦点，设P为椭圆C上一点，存在以P为圆心的⊙P与⊙F₁外切，与⊙F₂内切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₂作斜率为k的直线与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于点D，若

DA

=2

AF2

，

DB

=λ

BF2

，求λ的值．
（3）已知真命题：“如果点T（x₀，y₀）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，那么过点T的椭圆的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．”利用上述结论，解答下面的问题：
已知点Q是直线l：x+2y=8上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出⊙F₁、⊙F₂的圆心和半径，设以P为圆心的⊙P的半径为r，求出PF₁+PF₂=4，即为a=2，又c=1，由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；
（2）设过点F₂作斜率为k的直线方程为：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由向量的数乘的坐标公式，求得A的横坐标，进而求得k，解方程求得B的横坐标，即可得到所求；
（3）运用椭圆的切线方程，求出QM，QN的方程，再由Q是它们的交点，代入即可得到直线MN的方程，再由Q在直线l上，运用直线系方程的结论，即可得到定点．

解答： 解：（1）⊙F₁：（x+1）²+y²=

1

9

的圆心为（-1，0），半径为

1

3

．
⊙F₂：（x-1）²+y²=

121

9

的圆心为（1，0），半径为

11

3

．
设以P为圆心的⊙P的半径为r，
则由以P为圆心的⊙P与⊙F₁外切，与⊙F₂内切，可得，
PF₁+PF₂=

1

3

+r+

11

3

-r=4，即有2a=4，即a=2，又c=1，
则b²=a²-c²=3，
则椭圆C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设过点F₂作斜率为k的直线方程为：y=k（x-1），
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（0，-k），
联立椭圆方程，消去y，得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
由

DA

=2

AF2

，即有x₁=2（1-x₁），解得，x₁=

2

3

，
代入方程，可得k²=24，
即有x₁x₂=

28

33

，则x₂=

14

11

，
由于

DB

=λ

BF2

，则x₂=λ（1-x₂），即有λ=

x2

1-x2

=

14 11

1- 14 11

=-

14

3

；
（3）设Q（m，n），则m+2n=8，即有m=8-2n，
切点M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
则

x3x

4

+

y3y

3

=1，

x4x

4

+

y4y

3

=1，
两条切线QM、QN均过点Q，即有

x3m

4

+

y3n

3

=1，

x4m

4

+

y4n

3

=1，
则由两点确定一条直线，则有直线MN的方程为：

mx

4

+

ny

3

=1．
即3mx+4ny-12=0，即3（8-2n）x+4ny-12=0，
即为（24x-12）+n（4y-6x）=0，
由24x-12=0，且4y-6x=0，解得，x=

1

2

，y=

3

4

．
即有直线MN恒过定点（

1

2

，

3

4

）．

点评：本题考查椭圆的定义和方程，考查两圆的位置关系，平面向量的数乘的定义和坐标表示，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，考查椭圆的切线方程，以及直线恒过定点问题，考查运算能力，属于中档题．