Question

已知二次函数r（x）=ax²-（2a-1）x+b的一个零点是2-

1

a

，函数g（x）=lnx，设函数f（x）=r（x）-g（x）．
（1）求b的值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由已知条件知，将2-

1

a

带入r（x）=0即可求出b=0；
（2）求f′（x）=

(2ax+1)(x-1)

x

，所以解f′（x）≥0即可得出f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）∵r（x）的一个零点为2-

1

a

；
∴r(2-

1

a

)=a(2-

1

a

)2-(2a-1)(2-

1

a

)+b=0；
∴b=0；
（2）f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx；
f′（x）=2ax-（2a-1）-

1

x

=

2ax2-(2a-1)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

；
∵a＞0，x＞0；
∴x≥1时，f′（x）≥0；
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；
即f（x）的单调增区间为[1，+∞）；

点评：考查函数零点的概念，以及通过解f′（x），解f′（x）≥0得到函数f（x）单调增区间的方法．