Question

若x，y满足约束条件

5x+y≥5 x+y≤4 y-ex≥0

，则

y

x

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，设k=

y

x

，利用k的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设k=

y

x

，则k的几何意义是区域内点到原点的斜率，
由图象可知当直线y=kx与y=e^x相切时，斜率k最小，
当直线经过点A时，斜率k最大．
由

5x+y=5 x+y=4

，解得

x= 1 4 y= 15 4

，即A（

1

4

，

15

4

），此时k=

15 4

1 4

=15．
设直线y=kx与y=e^x相切与点（a，e^a），
则f′（x）=e^x，则切线斜率k=f′（a）=e^a，
则切线方程为y-e^a=e^a（x-a），
∵切线过原点，
∴-e^a=-ae^a，解得a=1，此时切点为（1，e），
故此时切线斜率k=f′（1）=e，
故e≤

y

x

≤15，
即e≤k≤15，
故答案为：[e，15]

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用导数求出切线斜率是解决本题的关键．注意利用数形结合是解决此类问题的基本方法．