Question

已知圆锥曲线E：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=c²+1（c＞0，c≠1）的离心率为e=

3

2

，过原点O的直线与曲线E交于P、A两点，其中P在第一象限，B是曲线E上不同于P、A的点，直线PB、AB的斜率分别为k₁、k₂，且k₁k₂≠0．
（Ⅰ）求圆锥曲线E的标准方程；
（Ⅱ）求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）已知F为圆锥曲线E的右焦点，若PA⊥PB，且存在λ∈R使

AF

=λ

BF

，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）首先，设点F₁（-c，0），F₂（c，0），M（x，y），然后，结合给定的条件，得到|MF₁|+|MF₂|=c²+1＞|F₁F₂|=2c，从而，得到其轨迹是一个椭圆，然后利用待定系数法确定其方程；
（Ⅱ）首先，可以设点P（x₀，y₀），根据椭圆的对称性，得点A（-x₀，-y₀），点B（x₁，y₁），然后，根据椭圆的标准方程和斜率公式进行化简求解；
（Ⅲ）根据（Ⅰ）得F（

3 2

5

，0），设直线PB的斜率为k，k＜0，得到直线PA的斜率为-

1

k

，直线AB的斜率为-

1

4k

，直线PA的方程为：y=-

1

k

x，直线AB的方程为：y=-

1

4k

（x-

3 2

5

），然后，利用直线与椭圆相交，求点A坐标，再借助于斜率公式建立等式，求解斜率k的值，然后，写出直线AB的方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）设点F₁（-c，0），F₂（c，0），M（x，y），
∵

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=c²+1（c＞0，c≠1），
∴|MF₁|+|MF₂|=c²+1＞|F₁F₂|=2c，
∴点M的轨迹是一个以F₁（-c，0），F₂（c，0）为焦点的椭圆，
设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴2a=c²+1，①
∵e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a  ②，
根据①②得，
a=2，c=

3

，或a=

2

3

，c=

3

3

；
∴b²=a²-c²=1或b²=a²-c²=

1

9

，
∴b=1或

1

3

∴曲线E的标准方程：

x2

4

+y²=1或

x2

4 9

+

y2

1 9

=1；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），根据椭圆的对称性，得点A（-x₀，-y₀），
设点B（x₁，y₁），则y02=1-

1

4

x02，y12=1-

1

4

x12，
k₁=

y1-y0

x1-x0

，
k₂=

y1+y0

x1+x0

，
∴k₁•k₂=

y12-y02

x12-x02

，
=

- 1 4 (x12-x02)

x12-x02

，
=-

1

4

，
∴k₁•k₂=-

1

4

．
（Ⅲ）由已知设P（m，n），又由A、P关于原点对称，则A的坐标为（-m，-n）；
当E的方程为

x2

4

+y²=1时，
F（

3

，0），k₂=

n

3 +m

，k₁=-

3 +m

n

；
∵PA⊥PB，（

3 +m

n

）•

n

m

=-1，得m=

3

3

；
易得n=

33

6

，k₂=

11

8

，
AB所在直线的方程为y=

11

8

（x-

3

），
同理，当E的方程为

x2

4 9

+

y2

1 9

=1；可得AB所在直线的方程为y=

11

8

（x-

3

），
故AB所在直线的方程为y=

11

8

（x-

3

）．

点评：本题重点考查了椭圆的概念、标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识，属于综合性题目，难度中等，属于中档题．