Question

已知命题p：方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：?x∈（0，+∞），k＞x+

1

x

．如果命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求k的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先化简命题p和q，命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假得p，q中一真一假，列出不等式组，解出实数a的取值范围．

解答： 解：命题p：方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，化为标准形式为

x2

2

+

y2

2 k

=1，则

2

k

＞2，解得0＜k＜1；
命题q：?x∈（0，+∞），k＞x+

1

x

≥2，则k＞2；
如果命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则p，q一真一假，
若p真q假，则

0＜k＜1 k≤2

，则0＜k＜1，
若p假q真，则

k≤0，或k≥1 k＞2

，则k≤0或1≤k＜2，
则k的取值范围是k＜2．

点评：本题主要考查复合命题的真假，椭圆的标准方程以及恒成立问题的转化，注意a＜f（x）恒成立等价于a＜f（x）的最小值，属于综合题，考查推理和解不等式的能力．