Question

已知圆C₁：x²+（y-2）²=1，点Q（0，-1），动点M到圆C₁的切线长与MQ的绝对值的比值为λ（λ＞0）．
（1）当λ=1和λ=

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时，求出点M的轨迹方程；
（2）记λ=

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时的点M的轨迹为曲线C₂．若直线l₁，l₂的斜率均存在且垂直相交于点P，当l₁，l₂与曲线C₁，C₂相交，且恒有l₁和l₂被曲线C₂截得的弦长相等，试求出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设点M的坐标为（x，y），欲求动点M的轨迹方程，即寻找x，y间的关系式，结合题中条件列式化简即可得，求出当λ=1和λ=

10

时的方程即可；
（2）设P（m，n），l₁：y-n=k（x-m），l₂：y-n=-

1

k

（x-m），由于恒有l₁和l₂被曲线C₂截得的弦长相等，则圆心（0，-

4

3

）到l₁和l₂的距离相等，运用点到直线的距离公式，化简整理，再由k为任意的得到m，n的方程，解得即可得到P的坐标．

解答： 解：（1）设M（x，y），则由题意可得，

x2+(y-2)2-1

：

x2+(y+1)2

=λ，
平方可得，（λ²-1）x²+（λ²-1）y²+（2λ²+4）y+λ²-3=0，
当λ=1时，点M的轨迹方程为：3y-1=0；
λ=

10

时，点M的轨迹方程为：圆9x²+9y²+24y+7=0；
（2）设P（m，n），l₁：y-n=k（x-m），l₂：y-n=-

1

k

（x-m），
由于恒有l₁和l₂被曲线C₂截得的弦长相等，则圆心（0，-

4

3

）到l₁和l₂的距离相等，
即有

| 4 3 +n-km|

1+k2

=

| 4 3 +n+ m k |

1+ 1 k2

，化简可得，|

4

3

+n-km|=|

4

3

k+nk+m|，
即有

4

3

+n-km=

4

3

k+nk+m，或

4

3

+n-km+

4

3

k+nk+m=0，
则有（

4

3

+n-m）=k（

4

3

+n+m），或（

4

3

+n+m）=k（

4

3

+n-m），
则有由于k为任意的，则

4

3

+n-m=

4

3

+n+m=0，
解得，m=0，n=-

4

3

．
即有P（0，-

4

3

），检验满足条件．
故所有满足条件的点P的坐标为（0，-

4

3

）．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线和圆相切的切线长问题和直线和圆相交的弦长问题，考查运算能力，属于中档题．