Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，BD=4

2

，E为PD的中点．
（1）求证：BD⊥面PAC；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值；
（3）设M为PA的中点，在棱BC上是否存在点F，
使MF∥面ACE？如果存在，请指出F点的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AB=4，ABCD为正方形，BD⊥AC，BD⊥PA，由此能证明BD⊥面PAC．
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．
（3）M的坐标为（0，0，2）．设棱BC上存在点F（4，λ，0）使MF∥平面ACE，利用向量法能求出在棱BC上存在点F，使MF∥平面ACE，且F为棱BC的中点．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：在Rt△ABD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，ABCD为正方形，∴BD⊥AC．…（2分）
∵PA⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴BD⊥PA．…（3分）
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥面PAC．…（4分）
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0）、D（0，4，0）、
P（0，0，4）．…（5分）
在Rt△ABD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，C（4，4，0），E（0，2，2），
∴

AE

=(0，2，2)，

AC

=(4，4，0)．…（6分）
设面ACE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AE =0 n • AC =0

⇒

2y+2z=0 4x+4y=0

，
可以得到面ACE的一个法向量

n

=(1，-1，1)．…（7分）
又∵PA⊥平面ABCD，∴

AP

=(0，0，4)为面ACD的一个法向量，…（8分）
则cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n || AP |

=

4

3 ×4

=

3

3

，
∴二面角E-AC-D的余弦值为

3

3

．…（10分）
（3）解：∵M为PA的中点，∴M的坐标为（0，0，2）．
设棱BC上存在点F（4，λ，0）使MF∥平面ACE，
则

MF

=(4，λ，-2)，…（11分）
由（2）得面ACE的一个法向量

n

=(1，-1，1)，
∴

MF

•

n

=0⇒λ=2，…（13分）
∴在棱BC上存在点F，使MF∥平面ACE，且F为棱BC的中点．…（14分）
（用其他方法解答的，可以参照给分）

点评：本题考查BD⊥面PAC的证明，考查二面角E-AC-D的余弦值的求法，考查在棱BC上是否存在点F，使MF∥面ACE的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．