Question

四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
（1）求AM与PD所成的角；
（2）求二面角P-AM-N的余弦值；
（3）求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）根据条件证明AM⊥平面PCD即可．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出对应的平面的法向量，即可．
（3）利用向量法求出法向量即可．

解答： 解：（1）因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
则CD⊥侧面PAD
∴CD⊥AM，又PA=AD=2，∴AM⊥PD．
又PD∩CD=D，
∴AM⊥平面PCD．
∵PD?平面PCD，
∴AM⊥PD，
即AM与PD所成的角为90°．
（2）由（1）知M为PD的中点，
由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
则

AB

=（2，0，0），
∵PC⊥平面AMN，∴

PC

=（2，2，-2），
则cos＜

AB

，

PC

＞=

AB • PC

| AB |•| PC |

=

2×2

2× 22+22+(-2)2

4

2 12

=

3

3

，
即二面角P-AM-N的余弦值为

3

3

．
（3）∵CD∥AB，
∴直线AB与平面AMN所成角，即为CD与平面AMN所成角
∵cos＜

AB

，

PC

＞=

AB • PC

| AB |•| PC |

=

2×2

2× 22+22+(-2)2

4

2 12

=

3

3

，
∴sin＜

AB

，

PC

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
直线CD与平面AMN所成角的余弦值=sin＜

AB

，

PC

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

．

点评：本题主要考查空间角的求解，建立坐标系，利用空间向量法是解决本题的关键．