Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若f（

x

2

+

π

6

）=

1

3

，求f（x+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数图象的顶点坐标求出A和b，由周期求的ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调递增区间．
（3）由 f（

x

2

+

π

6

）=

1

3

，求得cosx=-

1

6

，从而求得f（x+

π

6

）=cos2x+

1

2

 的值．

解答： 解：（1）由函数的图象可得A=

1.5+0.5

2

=1，b=

1.5-0.5

2

=

1

2

，
由

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

ω

，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2×

π

6

+φ=

π

2

，求得φ=

π

6

，
故函数y=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

3

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

12

，
可得函数f（x）的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）∵f（

x

2

+

π

6

）=sin（x+

π

2

）+

1

2

=cosx+

1

2

=

1

3

，∴cosx=-

1

6

．
∴f（x+

π

6

）=sin（2x+

π

2

）+

1

2

=cos2x+

1

2

=2cos²x-

1

2

=-

4

9

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，二倍角公式的应用，属于基础题．