Question

“若存在一条与函数y=f（x）的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直线，使y=f（x）在x=

x1+x2

2

处的切线与此直线平行”，则称这样的函数y=f（x）为“hold函数”；下列函数：
①y=

1

x

；②y=x²（x＞0）；③y=

1-x2

；④y=lnx；
其中为“hold函数”的是（　　）

• A、①②④
• B、②③
• C、③④
• D、①③④

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的概念及其构成要素

专题：导数的综合应用

分析：（1）设一条直线l与函数f（x）=

1

x

的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）的直线，可得k_l=

y2-y1

x2-x1

=-

1

x1x2

．由于f′（x）=-

1

x2

，可得y=f（x）在x=

x1+x2

2

处的切线的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=-

4

(x1+x2)2

，可得-

1

x1x2

≠-

4

(x1+x2)2

，因此函数f（x）=

1

x

不是“hold函数”；
（2）设一条直线l与函数f（x）=x²（x＞0）的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直线，可得k_l=

y2-y1

x2-x1

=x₂+x₁．由于f′（x）=2x，可得y=f（x）在x=

x1+x2

2

处的切线的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=x₁+x₂，即可判断出．
同理可判定：（3）为“hold函数”；（4）不为“hold函数”．

解答： 解：（1）设一条直线l与函数f（x）=

1

x

的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）的直线，则k_l=

y2-y1

x2-x1

=

1 x2 - 1 x1

x2-x1

=-

1

x1x2

，
∵f′（x）=-

1

x2

，∴y=f（x）在x=

x1+x2

2

处的切线的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=-

4

(x1+x2)2

，假设-

1

x1x2

=-

4

(x1+x2)2

，可得x₁=x₂，与已知x₁≠x₂矛盾，因此函数f（x）=

1

x

不是
“hold函数”；
（2）设一条直线l与函数f（x）=x²（x＞0）的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直线，则k_l=

y2-y1

x2-x1

=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=x₂+x₁，
∵f′（x）=2x，∴y=f（x）在x=

x1+x2

2

处的切线的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=2×

x1+x2

2

=x₁+x₂，
∴存在一条直线l与函数y=f（x）的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直线，使y=f（x）在x=

x1+x2

2

处的切线与此直线平行，
因此函数f（x）=x²为“hold函数”；
同理可判定：（3）为“hold函数”；（4）不为“hold函数”．
故选：B．

点评：本题考查了新定义“hold函数”、直线的斜率计算公式、利用导数研究函数切线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．