Question

已知，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠A的平分线，交BC于点D，且AD=k•AC．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC的面积为1，求BC最短时k的值．

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：（1）如图所示，在△ABC中，AD是∠A的平分线，AB=2AC，利用角平分线的性质定理可得：

BD

DC

=

AB

AC

=

2

1

，∠1=∠2．令AC=a，DC=b，AD=c，则AB=2a，BD=2b．在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠1，DC²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠2，化简整理即可得出．
（2）由于△ABC的面积为1，可得

1

2

•2a•a•sinA=1，可得sinA=

1

a2

．求BC最短时k的值，只考虑A为锐角或直角时即可．可得cosA=

1-sin2A

=

a4-1

a2

．
在△ABC中，由余弦定理可得：BC²=4a²+a²-4a²•cosA=5a²-4

a4-1

，令a²=t＞0，f（t）=5t-4

t2-1

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）如图所示，
∵在△ABC中，AD是∠A的平分线，AB=2AC，
∴

BD

DC

=

AB

AC

=

2

1

，∠1=∠2．
令AC=a，DC=b，AD=c，则AB=2a，BD=2b．
在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠1，
DC²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠2，
∴4b²=4a²+c²-4accos∠1，b²=a²+c²-2ac•cos∠2，
化为3c²-4accos∠1=0，又c=ka，
∴k=

4

3

cos∠1，
∵∠1∈(0，

π

2

)，∴cos∠1∈（0，1）．
∴k∈(0，

4

3

)．
（2）∵△ABC的面积为1，
∴

1

2

•2a•a•sinA=1，可得sinA=

1

a2

．
∵求BC最短时k的值，∴只考虑A为锐角或直角时即可．
∴cosA=

1-sin2A

=

a4-1

a2

．
在△ABC中，由余弦定理可得：BC²=4a²+a²-4a²•cosA=5a²-4

a4-1

，
令a²=t＞0，f（t）=5t-4

t2-1

，
则f′（t）=5-

4t

t2-1

，
令f′（t）=0，解得t=

5

3

．
当t＞

5

3

时，f′（t）＞0，此时函数f（t）单调递增；当0＜t＜

5

3

时，f′（t）＜0，此时函数f（t）单调递减．
∴当t=

5

3

时，函数f（t）取得最小值，即BC²=5×

5

3

-4

( 5 3 )2-1

=3．
此时cosA=

4

5

=2cos²∠1-1，解得cos∠1=

3 10

10

．
∴k=

4

3

cos∠1=

4

3

×

3 10

10

=

2 10

5

．

点评：本题考查了三角形内角平分线的性质定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．