Question

如图，在四棱锥V-ABCD中，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为

5

的等腰三角形，
（1）求二面角V-BC-A的平面角的大小．
（2）求点O到平面VBC的距离；
（3）求V_V-ABCD．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC的中点E，连接EO，VE，VO，由正四棱锥的性质易得∠VEO为二面角V-BC-A的平面角，
（2）过O作OF⊥VE于F，即得点O到平面VBC的距离的大小．
（3）求出高VO，根据四棱锥的体积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）取BC的中点E，连接EO，VE，VO，则由题意可知VE⊥BC且OE⊥BC，
∴∠VEO为二面角V-BC-A的平面角，
∵VA=VB=VC=VD=

5

，O是底面正方形ABCD的中心，
∴VO⊥平面ABCD
Rt△VEO中，DE=1，BE=1，VE=2
可得∠VEO=60°
∴二面角V-BC-A的大小为60°
（2）设点O到平面VBC的距离为h，
过O作OF⊥VE于F，
则OF⊥平面VBC，
即OF是点O到平面VBC的距离，
则Rt△VEO中，OF=OEsin60°=

3

2

．
（3）由（2）知，VO=

VE2-OE2

=

4-1

=

3

，
故V_V-ABCD=

1

3

×22×

3

=

4 3

3

．

点评：本题给出正四棱锥，求侧面与底面所成角的大小，并求底面中心到一个侧面的距离，着重考查了二面角的平面角及求法和点到平面距离求法等知识，属于中档题．