Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+5（a₂-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+5（a₂₀₁₀-1）=-1，以下给出四个判断①公差d＜0；　②S₂₀₁₁=2011；　③a₁₀₀₀＜1；　④S_n有最大值，其中正确判断的序号是

 

．（填写所有正确判断的序号）

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：构造函数f（x）=x³+5x，由函数的单调性和奇偶性以及等差数列的性质，逐个选项验证可得．

解答： 解：构造函数f（x）=x³+5x，可得函数f（x）=x³+5x是奇函数，
由条件可得f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，
求导数可得f′（x）=3x²+5＞0，∴函数f（x）=x³+5x是单调递增的，
∵f（a₂-1）=1＞f（a₂₀₁₀-1）=-1，
∴a₂-1＞a₂₀₁₀-1，且a₂-1=-（a₂₀₁₀-1）
∴a₂＞0＞a₂₀₁₀，且a₂+a₂₀₁₀=2，可得①公差d＜0正确；
又S₂₀₁₁=

a1+a2011

2

×2011=

a2+a2010

2

×2011=2011，可得②S₂₀₁₁=2011正确；
又S₂₀₁₁=

a2+a2010

2

×2011=

2a1006

2

×2011=2011a₁₀₀₆=2011，∴a₁₀₀₆=1，
由数列单调递减可得a₁₀₀₀＜a₁₀₀₆=1，故③正确，
由公差d＜0和二次函数的性质可知④S_n有最大值正确．
故答案为：①②③④

点评：本题考查等差数列的性质，涉及函数的单调性和奇偶性，属中档题．