Question

直线x+y=a 与圆x²+y²=1交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若

OA

•

OB

=a，则a的值为（　　）

• A、

  1± 5

  2

• B、

  1- 5

  2

• C、

  -1- 5

  2

• D、

  -1+ 5

  2

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：联立方程得到方程组，消元得到2x²-2ax+a²-3=0，由韦达定理得x₁x₂，y₁y₂的值，再由

OA

•

OB

=a，代入可求解．

解答： 解：联立直线x+y=a与圆x²+y²=1，消掉y并整理得：2x²-2ax+a²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理得：
x₁+x₂=a，x₁x₂=

a2-1

2

，
∴y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂ =a²-a²+x₁x₂=

a2-1

2

．
又

OA

•

OB

=a，∴x₁x₂+y₁y₂=a，代入可得a²-a-1=0，解得a=

1- 5

2

 或a=

1+ 5

2

．
由题意可得

OA

•

OB

∈[-1，1]，∴a=

1- 5

2

，
故选：B．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．