Question

已知点O（0，0），A（-2，a）（a∈R是常数），动点P满足

PO

•

PA

=3．
（1）求动点P的轨迹；
（2）若直线l：x+2y-2=0上有且仅有一点Q，使

QO

•

QA

=3，求常数a的值；并求此时直线l与直线OA夹角的余弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x，y），则

PO

=(-x，-y)，

PA

=(-2-x，a-y)，再利用数量积运算即可得出；
（2）设P（x，y），由

QO

•

QA

=3，可得-x（-2-x）+（-y）（a-y）=3．与直线l的方程联立，利用△=0即可解出．再利用向量夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）设P（x，y），则

PO

=(-x，-y)，

PA

=(-2-x，a-y)，
由

PO

•

PA

=3得-x（-2-x）+（-y）（a-y）=3，
即(x+1)2+(y-

a

2

)2=4+

1

4

a2，
∵4+

1

4

a2＞0，∴点P的轨迹为圆．
（2）设P（x，y），由

QO

•

QA

=3，可得-x（-2-x）+（-y）（a-y）=3．
与直线l的方程联立可得：

-x(-2-x)+(-y)(a-y)=3 x+2y-2=0

化为（2y-2）（2y-4）+y²-ay-3=0，
化为5y²-（a+12）y+5=0，
依题意，△=[-（a+12）]²-4×5×5=0，
解得a=-2或a=-22．
直线l与坐标轴的交点分别为M（2，0），N（0，1），

MN

=(-2，1)．）
直线l与直线OA夹角的余弦值cosθ=

| MN • OA |

| MN |•| OA |

=

|a+4|

5 × a2+4

，
a=-2时，cosθ=

10

10

；
a=-22时，cosθ=

9 610

610

．

点评：本题考查了数量积运算、直线与抛物线相切转化为方程联立得到△=0、向量夹角公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．