Question

8．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+n-16．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想数列{a_n}的通项公式并用数学归纳方法证明．
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}-4}{{2}^{{a}_{n}-4}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，计算可得数列的前3项，猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=n+4，n∈N*，用数学归纳方法证明，注意检验n=1，假设n=k，推得n=k+1也成立，注意运用数列的递推式；
（2）求得b_n=$\frac{{a}_{n}-4}{{2}^{{a}_{n}-4}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+n-16，
可得2a₁=2S₁=a₁²+1-16，解得a₁=5；
2（a₁+a₂）=a₂²+2-16，解得a₂=6；
2（a₁+a₂+a₃）=a₃²+3-16，解得a₃=7，
猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=n+4，n∈N*，
用数学归纳方法证明如下：
当n=1时，a₁=5显然成立；
假设n=k，有a_k=k+4，
当n=k+1时，可得
a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1²+k-15）-$\frac{1}{2}$[（k+4）²+k-16]，
化简可得a_k+1²-2a_k+1+1-（k+4）²=0，
解得a_k+1=k+5，
故n=k+1，等式也成立，
综上可得a_n=n+4，n∈N*，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}-4}{{2}^{{a}_{n}-4}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用猜想和数学归纳法之美，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．