Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，若a₁，a₂，a₃成等比数列，且n≥3时，a_n＞0
（1）求证：当n≥3时，{a_n}成等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据4S_n=a_n²+2a_n-3，再写一式两式相减，利用十字相乘法即可得到n≥3时，a_n的相邻两项之差为常数，即为等差数列；
（2）求出数列的第1，2项，可求数列的通项，即可求出{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
两式相减整理可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵n≥3时，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴n≥3时，{a_n}成等差数列；
（2）解：∵4S₁=a₁²+2a₁-3，
∴a₁=3或a₁=-1，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0，
∴q=-1，
∵a₃＞0，
∴a₁=3，
∴a_n=

3•(-1)n-1(n=1，2) 2n-3(n≥3)

，
∴S_n=

3 2 [1-(-1)n](n=1，2) n2-2n(n≥3)

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．