Question

3．设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+7，α．β均为实数，若f（2015）=6，求f（2016）的值．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），由f（2015）=6和诱导公式可得g（2015），整体法可得g（2016），再由f（2016）=g（2016）+7可得．

解答 解：构造函数g（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），则f（x）=g（x）+7，
由f（2015）=g（2015）+7=6可得g（2015）=-1，
即asin（2015π+α）+bcos（2015π+β）=-1，
由诱导公式化简可得asinα+bcosβ=1，
∴g（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π+β）
=asinα+bcosβ=1，
f（2016）=g（2016）+7=8

点评 本题考查诱导公式的应用，构造函数并整体求解asinα+bcosβ=1是解决问题的关键，属基础题．