Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点。

（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值。

Answer 1

解：（1）设点P为A的中点，连接MP，NP ∵点M是BC的中点， ∴MP∥CD ∵CD平面A1CD，MP平面A1CD， ∴MP∥平面A1CD ∵点N是AA1的中点， ∴NP∥A1D ∵A1D平面A1CD，NP平面A1CD， ∴NP∥平面A1CD ∵MP∩NP=P，MP平面MNP，NP平面MNP， ∴平面MNP∥平面A1CD ∵MN平面MNP， ∴MN∥平面A1CD。
（2）取BB1的中点Q，连接NQ，CQ ∵点N是AA1的中点， ∴NQ∥AB ∵AB∥CD， ∴NQ∥CD ∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1 ∴ ∴直三棱柱QBC-NAD的体积V1=S△QBC·AB= ∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2， ∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积V2=V-V1= ∴ ∴所截成的两部分几何体的体积的比值为。