Question

（本题满分14分）已知函数 的定义域为．
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）探究是否是上的单调函数？若是，请证明；若不是，请说明理由； （Ⅲ）求证：，（其中为自然对数的底数）．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

（Ⅰ）由题意得关于的不等式的解集是区间，
则是方程的根，因此。
经检验时，函数 的定义域为．
即符合题意．…………3分
（Ⅱ） ，设，
则， ……5分
令，则
即是上的减函数……7分所以当时，=0，则<0．
因此是（0,上的减函数，而是（0,上的减函数，则是上的单调增函数……9分
（Ⅲ）先证不等式 （成立．
设 （，则，
即是（0，上的减函数，所以，因此……11分
取得不等式，
即，则……13分
所以…………14分