Question

15．已知点A，B，C是圆心为原点O半径为1的圆上的三点，∠AOB=60°，$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$（a，b∈R），求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 由 $\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$，且向量的模都是1，平方可得1=a²+b²+ab，再由基本不等式，即可求a²+b²的最小值．

解答 解：由$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$，向量的模都是1，∠AOB=60°，
可得1=a²+b²+ab≤a²+b²+$\frac{1}{2}$（a²+b²），
∴a²+b²≥$\frac{2}{3}$，
∴a²+b²的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 此题是中档题．本题考查两个向量的数量积的定义以及基本不等式的应用，体现了数形结合的数学思想．