Question

已知抛物线y²=8x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F，且椭圆过点D（-

2

，

3

）．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c=2 2 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），由方程组

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+2

，得（2k²+1）x²+8kx=0，x_P=

-8k

2k2+1

，y_P=

2-4k2

2k2+1

．用-

1

k

代替上面的k，可得x_Q=

8k

k2+2

，y_Q=

2k2-4

k2+2

．由此能求出直线PQ经过定点（0，-

2

3

）．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=8x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F（2，0），
且椭圆过点D（-

2

，

3

），
∴

c=2 2 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=4，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），
由方程组

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+2

，得（2k²+1）x²+8kx=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁=

-8k

2k2+1

，x₂=0，
所以x_P=

-8k

2k2+1

，y_P=

2-4k2

2k2+1

．
用-

1

k

代替上面的k，可得x_Q=

8k

k2+2

，y_Q=

2k2-4

k2+2

．
∴直线PQ：y-

2-4k2

1+2k2

=

k2-1

3k

(x-

-8k

1+2k2

)，
由x=0，得y=

2-4k2

1+2k2

-

k2-2

3k

•

-8k

1+2k2

=-

2

3

，
∴直线PQ经过定点（0，-

2

3

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．