Question

1．如图，已知四棱锥P-ABCD，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，给出下列命题：
①PB⊥AC；
②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；
③平面PBD⊥平面PAC；
④△PBD为锐角三角形．
其中真命题的序号是（写出全部真命题的序号）（　　）

• A． ②③
• B． ①②③④
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；
由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由直角三角形中的边角关系说明∠BPD为锐角，再由PB=PD可知△PBD为锐角三角形，说明④正确．

解答 解：如图，

①、若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾．①错误；
②、∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行．②正确；
③、∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC．③正确；
④、在Rt△AOB和Rt△POB中，由BO=BO，PO＞AO可知∠BPO＜∠BAO，同理说明∠DPO＜∠DAO，∴∠BPD为锐角，
再由PB=PD，可得△PBD为锐角三角形．④正确．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线和平面的位置关系，是中档题．