【题目】设定义域为R的奇函数 (a为实数). (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断f(x)的单调性(不必证明),并求出f(x)的值域;
(Ⅲ)若对任意的x∈[1,4],不等式f(k﹣ )+f(2﹣x)>0恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,从而a=1,此时 ,经检验,f(x)为奇函数,所以a=1满足题意. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知
,
所以f(x)在R上单调递减,
由2x>0知2x+1>1,所以 ,
故得f(x)的值域为 .
(Ⅲ)因为f(x)为奇函数,故由 得
,
又由(Ⅱ)知f(x)为减函数,故得 ,即
.
令 ,则依题只需k<gmin(x).
由”对勾“函数的性质可知g(x)在 上递减,在
上递增,所以
.
故k的取值范围是 .
【解析】(Ⅰ)由f(0)=0,可求得a的值;(Ⅱ)可判断f(x)在R上单调递减,由 可求得
的值域;(Ⅲ)由任意的x∈[1,4],不等式f(k﹣
)+f(2﹣x)>0恒成立可得
,构造函数令
,利用”对勾“函数的性质可求得gmin(x),从而可求得实数k的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点,需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 ,且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P(﹣2,0).
(1)求双曲线C的方程及它的渐近线方程;
(2)求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.
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【题目】已知椭圆 +
=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点H(2,
)在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,问:△PF2Q的周长是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由.
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【题目】(文科做)已知函数f(x)=x﹣ ﹣(a+2)lnx,其中实数a≥0.
(1)若a=0,求函数f(x)在x∈[1,3]上的最值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
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