Question

19．已知F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线相交于D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BD}$，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用右焦点为F（c，0），点B（0，b），线段BF与双曲线相交于D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BD}$，确定D的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率．

解答 解：设D（x，y），
∵右焦点为F（c，0），点B（0，b），线段BF与双曲线相交于D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BD}$，
∴x=$\frac{c}{2}$，y=$\frac{b}{2}$，
代入双曲线方程，可得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{{b}^{2}}{4}}{{b}^{2}}=1$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向量知识确定D的坐标是关键．