Question

1．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，R为△ABC外接圆的半径，已知a=6，tanB=$\sqrt{7}$．
（1）若$\frac{a}{2RsinC}$=$\sqrt{2}$，求sinC的值．
（2）记M为AC边上的中点，若BM=3$\sqrt{2}$，求以BA、BC为邻边的平行四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）有条件利用正弦定理求得c的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinB和cosB的值，再由余弦定理求得b的值，从而利用正弦定理求得sinC的值．
（2）以BA、BC为邻边的平行四边形的面积等于△ABC的面积的2倍，即为$\frac{1}{2}$ab•sinC，计算求得结果．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\frac{a}{2RsinC}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{6}{c}$=$\sqrt{2}$，∴c=3$\sqrt{2}$．
∵若$\frac{a}{2RsinC}$=$\sqrt{2}$=$\frac{sinB}{cosB}$，sin²B+cos²B=1，求得sinB=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}{+c}^{2}-2ac•cosB}$=$\sqrt{36+18-36\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{4}}$=6．
再由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{sinC}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$，求得sinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（2）以BA、BC为邻边的平行四边形的面积等于△ABC的面积的2倍，
即为$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$×6×6×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=9$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．