Question

16．已知A，B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右顶点，P是异于A，B的椭圆上一点，．
（ 1 ）求P到定点Q（0，1）的最大值；
（2）设PA，PB的斜率为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设P（4cosα，2sinα），α∈[0，2π），则|PQ|²=（4cosα）²+（2sinα-1）²=-12（sinα+$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{3}$+17，当sinα+$\frac{1}{6}$=0，即sinα=-$\frac{1}{6}$时，|PQ|取得最大值，|PA|_max=$\sqrt{\frac{52}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$；
（2）设P（x，y）（y₁≠0），A（-4，0），B（4，0），根据两点之间的距离公式求得，则k₁=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$，k₂=$\frac{y}{x-4}$，k₁k₂=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$•$\frac{y}{x-4}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，P（x₁，y₁）在椭圆上，$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$=-$\frac{1}{4}$，k₁k₂为定值．

解答 解：（1）由题意可知：设P（4cosα，2sinα），α∈[0，2π），
则|PQ|²=（4cosα）²+（2sinα-1）²
=16cos²α+4sin²α-4sinα+1，
=16（1-sin²α）+4sin²α-4sinα+1，
=-12sin²α-4sinα+17，
=-12（sinα+$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{3}$+17，
∴当sinα+$\frac{1}{6}$=0，即sinα=-$\frac{1}{6}$时，
|PQ|取得最大值，|PA|_max=$\sqrt{\frac{52}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$；
（2）证明：设P（x，y）（y₁≠0），A（-4，0），B（4，0）则k₁=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$，k₂=$\frac{y}{x-4}$，
k₁k₂=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$•$\frac{y}{x-4}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，整理得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$=-$\frac{1}{4}$
∴k₁k₂为定值-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程的应用，考查椭圆的参数方程，直线的斜率公式，同角三角函数的基本关系，考查正弦函数图象与性质，考查计算能力，属于中档题．