Question

【题目】已知函数f（x）=k（x﹣1）ex+x2 ． （Ⅰ）当时k=﹣ ，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；
（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）k=﹣ 时，f（x）=﹣ （x﹣1）ex+x2，

∴f′（x）=x（2﹣ex﹣1 ），∴f′（1）=1，f（1）=1，

∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，

（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+ ）＜x2+（k+2）x，

即：kxex﹣x2﹣kx＜0，

∵x＜0，∴kex﹣x﹣k＞0，

令h（x）=kex﹣x﹣k，

∴h′（x）=kex﹣1，

当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，

当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，

当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，

∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，

综上：k≤1．

（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+ ），

令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣ ），

令g（k）=ln（﹣ ）﹣k，则g′（k）=﹣ ﹣1≤0，

g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，

∴x2=ln（﹣ ）＞k，

当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣ ）＞0，

f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，

当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，

当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2 ），f（1）}，

f（x2 ）=﹣2[ln（﹣ ）﹣1]+[ln（﹣ ）]2= ﹣2x2+2＞1，f（1）=1，

此时m=1，

综上：m=1．

【解析】（Ⅰ）k=﹣ 时，f（x）=﹣ （x﹣1）ex+x2，得f′（x）=x（2﹣ex﹣1 ），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+ ）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=kex﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+ ），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣ ），令g（k）=ln（﹣ ）﹣k，则g′（k）=﹣ ﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．