Question

学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A是本校的传统套餐，B是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的学生，下星期一会有

1

5

的学生改选B套餐；而选B套餐的学生，下周星期一会有r（0＜r＜

4

5

）的学生改选A套餐，用a_n，b_n分别表示在第n个星期选A套餐的人数和选B套餐的人数．
（Ⅰ）用a_n-1表示a_n；
（Ⅱ）若r=

3

10

，且选A套餐的学生人数保持不变，求a₁；
（Ⅲ）根据调查，存在一个常数k，使得数列{a_n-k}为等比数列，且k∈[250，300]，求r的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得

an= 4 5 an-1+rbn-1 an-1+bn-1=500

，化简可用a_n-1表示a_n；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，结合r=

3

10

，且选A套餐的学生人数保持不变，即可求a₁；
（Ⅲ）根据数列{a_n-k}是等比数列，可用r表示k，根据k∈[250，300]，即可求r的取值范围．

解答：解：（I）由已知得

an= 4 5 an-1+rbn-1 an-1+bn-1=500

，∴an=

4

5

an-1+r(500-an-1)，
∴an=(

4

5

-r)an-1+500r．                  （4分）
（II）∵r=

3

10

，
∴an=

1

2

an-1+150=a_n-1
∴a_n-1=a₁=300．                 （8分）
（III）∵数列{a_n-k}是等比数列，
∴a_n-k=

4

5

（a_n-1-k），得a_n=（

4

5

-r）a_n-1+（

1

5

+r）k，
∴（

1

5

+r）k=500r，得k=

2500r

5r+1

，（11分）
∵k∈[250，300]，∴250≤

2500r

5r+1

≤300，
∴

1

5

≤r≤

3

10

．               （13分）

点评：本题考查数列知识在生产实际中的应用，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解是关键．