若存在实常数k和b.使得函数F对其公共定义域上的任意实数x都满足:F≤kx+b恒成立.则称此直线y=kx+b为F的“隔离直线 .已知函数f(x)=x2=$\frac{1}{x}$=2elnx.有下列命题:①F在$x∈({-\frac{1}{{\root{3}{2}}}.0})$内单调递增,②f之间存在“隔离直线 .且b的最小值为-4,③f之间存在“隔离直线 .且k的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

13．若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）=x²（x∈R），g（x）=$\frac{1}{x}$（x＜0），h（x）=2elnx，有下列命题：
①F（x）=f（x）-g（x）在$x∈（{-\frac{1}{{\root{3}{2}}}，0}）$内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（-4，0]；•
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2$\sqrt{e}$x-e．
其中真命题为①②④（请填所有正确命题的序号）

分析 ①求出F（x）=f（x）-g（x）的导数，检验在x∈（-$\frac{1}{\root{3}{2}}$，0）内的导数符号，即可判断；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，x²≥kx+b对一切实数x成立，即有△₁≤0，又$\frac{1}{x}$≤kx+b对一切x＜0成立，△₂≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；
④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值

解答解：①∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-$\frac{1}{x}$，∴x∈（-$\frac{1}{\root{3}{2}}$，0），F′（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）=f（x）-g（x）在x∈（-$\frac{1}{\root{3}{2}}$，0）内单调递增，故①对；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，则x²≥kx+b对一切实数x成立，即有△₁≤0，k²+4b≤0，
又$\frac{1}{x}$≤kx+b对一切x＜0成立，则kx²+bx-1≤0，即△₂≤0，b²+4k≤0，k≤0，b≤0，
即有k²≤-4b且b²≤-4k，k⁴≤16b²≤-64k⇒-4≤k≤0，同理⇒-4≤b≤0，故②对，③错；
④函数f（x）和h（x）的图象在x=$\sqrt{e}$处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，
那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-$\sqrt{e}$），即y=kx-k$\sqrt{e}$+e，
由f（x）≥kx-k$\sqrt{e}$+e（x∈R），可得x²-kx+k$\sqrt{e}$-e≥0当x∈R恒成立，
则△≤0，只有k=2$\sqrt{e}$，此时直线方程为：y=2$\sqrt{e}$x-e，
下面证明h（x）≤2$\sqrt{e}$x-e，令G（x）=2$\sqrt{e}$x-e-h（x）=2$\sqrt{e}$x-e-2elnx，
G′（x）=$\frac{2\sqrt{e}（x-\sqrt{e}）}{x}$，
当x=$\sqrt{e}$时，G′（x）=0，当0＜x＜$\sqrt{e}$时，G′（x）＜0，当x＞$\sqrt{e}$时，G′（x）＞0，
则当x=$\sqrt{e}$时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2$\sqrt{e}$x-e-g（x）≥0，则g（x）≤2$\sqrt{e}$x-e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2$\sqrt{e}$x-e，故④正确．
故答案为：①②④．

点评本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题

练习册系列答案

名校名师培优全程检测卷系列答案

名师题库系列答案

本土教辅名校学案黄冈期末全程特训卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>