Question

已知

k 0

是矩阵A=

1   0 m  2

的一个特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量

k 0

相应的特征值；
（Ⅱ）若矩阵B=

3  2 2  1

，求矩阵B^-1A．

Answer 1

考点：逆矩阵的意义,矩阵特征值的定义

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）设出特征值，根据矩阵与列向量的乘积，列出方程组求解即可；
（Ⅱ）首先求出|B|，然后求出B^-1，最后根据矩阵相乘的方法，求出阵B^-1A即可．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，可知存在实数λ（λ≠0），
使得

1   0 m  2

k 0

=λ

k 0

，
即

k=λk mk=0

，
又因为k≠0，所以

λ=1 m=0

，
所以m=0，特征向量

k 0

相应的特征值为1；
（Ⅱ）因为|B|=3×1-2×2=-1，
所以B^-1=

-1 2 2 -3

，
因此阵B^-1A=

-1 2 2 -3

1 0 0 2

=

-1 4 2 -6

．

点评：本题主要考查矩阵的性质和应用、特征值的计算，考查了矩阵的乘法、逆矩阵的求法，解题时要特别注意特征值与特征向量的计算公式的灵活运用．