Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当 n≥2时，a_n=

Sn + Sn-1

2

，
（1）证明数列 {

Sn

}是一个等差数列； 
（2）求a_n．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，S₁=a₁=1 当 n≥2时；a_n=S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn + Sn-1

2

，
即可得出；
（2）由（1）得

Sn

=

n+1

2

，可得 S_n=(

n+1

2

)2．当n=1时 a₁=S₁=1．当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．

解答： （1）证明：当n=1时，S₁=a₁=1 当 n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=（ 

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn + Sn-1

2

，
而

Sn

+

Sn-1

≠0，
∴

Sn

-

Sn-1

=

1

2

．
∴数列 数列 {

Sn

}是一个等差数列．
（2）解：由（1）得

Sn

=

n+1

2

，∴S_n=(

n+1

2

)2，
当n=1时 a₁=S₁=1．
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=(

n+1

2

)2-(

n

2

)2=

2n+1

4

，
∴a_n=

1，n=1 2n+1 4 ，n≥2

．

点评：本题考查了利用递推式求数列的通项公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．