Question

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2，求数列的通项公式为a_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：令x=2，y=2^n-1，得f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1a₁，从而得到数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，1为公差的等差数列，由此能求出a_n=n•2ⁿ．

解答： 解：令x=2，y=2^n-1，
则f（x•y）=f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），
即f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1a₁，
an=2an-1+2n，

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，1为公差的等差数列，
∴

an

2n

=n，
由此可得a_n=n•2ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．