Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点A（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点F₁的直线l交椭圆于C，D两点，右焦点为F₂．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|CF₂|，|CD|，|DF₂|成等差数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出b，通过离心率，以及椭圆的几何量的关系，求出a，即可得到椭圆的标准方程．
（Ⅱ）利用|CF₂|，|CD|，|DF₂|成等差数列，得到|CF₂|+|DF₂|=2|CD|，求出|CD|．当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程组，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式，求出k，得到直线l的方程．验证当斜率不存在时，经检验不成立．

解答 解：（Ⅰ）因为A（0，1）为椭圆的一个顶点，所以b=1，
又离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$
得$a=\sqrt{2}，b=1，c=1$，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．（4分）
（Ⅱ）因为|CF₂|，|CD|，|DF₂|成等差数列，所以|CF₂|+|DF₂|=2|CD|①，（5分）
又因为$|{C{F_2}}|+|{D{F_2}}|+|{CD}|=4a=4\sqrt{2}$ ②，由 ①②解得，$|{CD}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．（7分）
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
得x的方程（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
因为直线过椭圆的左焦点，显然△＞0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由韦达定理${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
代入弦长公式，$|{CD}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}$=$\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）}^2}-4×\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}}]}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
整理得7k⁴-2k²-5=0，解得${k^2}=1，{k^2}=-\frac{5}{7}$（舍），k=±1，
所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．
当斜率不存在时，经检验不成立．（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力．