Question

【题目】已知，函数

（1）解关于的不等式；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．然后分a＜﹣1，a＝﹣1，a＞﹣1三类求解不等式的解集；

（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立|x2+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，当a＝0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；当a＞0时，分x∈（﹣∞，0]与x∈（0，+∞）分类分析；当a＜0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax显然不成立；当a时，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，则t（x）＝x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．然后利用导数求解满足条件的a的取值范围．

（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．

当a＜﹣1时，解得0≤x≤﹣a﹣1．当a＝﹣1时，解得x＝0．当a＞﹣1时，解得﹣a﹣1≤x≤0．

∴当a＜﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[0，﹣a﹣1]；

当a＝﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为{0}；

当a＞﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[﹣a﹣1，0]．

（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立|x2+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，

当a＝0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；

当a＞0时，当x∈（﹣∞，0]时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，

当x∈（0，+∞）时，令h（x）＝x2+（2a+1）x﹣ax＝x2+ax+x，h′（x）＝2x+a+1＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（x）＞h（0）＝0，∴不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，

∴当a＞0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立；

当a＜0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax显然不成立；

当a时，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，

则只需不等式|x2+（2a+1）x|≥ax在x∈（﹣∞，0）上恒成立．

即t（x）＝x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．

∵t′（x）＝2x+a+1，由2x+a+1＝0，解得x，若﹣1＜a，

则当x∈（﹣∞，）时，t′（x）＜0，当x∈（，0）时，t′（x）＞0，

∴x∈（﹣∞，0）时，，不合题意；

若a≤﹣1，则x∈（﹣∞，0）时，t′（x）≤0，t（x）为减函数，则t（x）＞t（0）＝0．

综上，不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立时a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．