Question

4．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4$\sqrt{3}$S=（a+b）²-c²，则角C的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意和三角形的面积公式以及余弦定理可得$\sqrt{3}$sinC=cosC+1，再由和差角的三角函数公式和三角形内角的范围可得．

解答 解：∵△ABC中4$\sqrt{3}$S=（a+b）²-c²，
∴4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$absinC=a²+b²-c²+2ab，
∴由余弦定理可得2$\sqrt{3}$absinC=2abcosC+2ab，
约掉2ab可得$\sqrt{3}$sinC=cosC+1，即$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，
∴2sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，故sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或C-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$或C=π（舍去）
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形以及三角形的面积公式，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．