Question

13．如图，△ABC中，D为AC中点，E为BD中点，设$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，且（$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）$⊥\overrightarrow{a}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据向量减法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则便可以用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AE}$；
（2）由$（\frac{4}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{a}$便可得到$（\frac{4}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}=0$，这样即可求出$cos∠ABC=\frac{1}{2}$，从而可得出$sin∠ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而由面积的计算公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}[-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）]=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$；
（2）∵$（\frac{4}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=3$；
∴$（\frac{4}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}=\frac{4}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^{2}=8cos$∠ABC-4=0；
∴$cos∠ABC=\frac{1}{2}$；
∴$sin∠ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BA}|sin∠ABC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
即△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，向量垂直的充要条件，数量积的运算及计算公式，三角形的面积公式．