Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n．
（1）写出数列{a_n}的前5项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}中，由a₁=1，a_n+1=a_n+n分别令n=1，2，3，4，能够依次求出a₂，a₃，a₄，a₅．
（2）由数列的前5项，猜想．再用累加法证明．

解答 解：（1）a₁=1，a_n+1=a_n+n，
∴a₂=a₁+1=1+1=2，
a₃=a₂+2=2+2=4，
a₄=a₃+3=4+3=7，
a₅=a₄+4=7+4=11，
（2）猜想a_n=$\frac{1}{2}$n（n-1）+1，
理由如下：
∵a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
…，
a_n-a_n-1=n-1，
累加得到，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=$\frac{1}{2}$n（n-1），
∴a_n=$\frac{1}{2}$n（n-1）+1，猜想成立．

点评 本题考查数列的递推公式的应用，解题时要仔细观察，合理猜想，注意累加法的合理运用．