Question

11．已知a＞-2，若圆O₁：x²+y²+2x-2ay-8a-15=0，圆O₂：x²+y²+2ax-2ay+a²-4a-4=0恒有公共点，则a的取值范围为（　　）

• A． （-2，-1]∪[3，+∞）
• B． $（-\frac{5}{3}，-1）∪（3，+∞）$
• C． $[-\frac{5}{3}，-1]∪[3，+∞）$
• D． （-2，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据两圆相交的条件进行求解即可．

解答 解：圆O₁：x²+y²+2x-2ay-8a-15=0的标准方程为（x+1）²+（y-a）²=a²+8a+16，
圆心O₁（-1，a），半径R=$\sqrt{{a}^{2}+8a+16}$=|a+4|=a+4，
圆O₂：x²+y²+2ax-2ay+a²-4a-4=0的标准方程为（x+a）²+（y-a）²=a²+4a+4，
圆心O₂（-a，a），半径R=$\sqrt{{a}^{2}+4a+4}$=|a+2|=a+2，
则圆心距离|O₁O₂|=|-a+1|=|a-1|，
若两圆恒有公共点，则两圆相交或相切，
即a+4-（a+2）≤|O₁O₂|≤a+2+a+4，
即2≤|a-1|≤2a+6，
若a≥1，则不等式等价为2≤a-1≤2a+6，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a-1≥2}\\{a-1≤2a+6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≥3}\\{a≥-7}\end{array}\right.$得a≥3，
若-2＜a＜1，
则不等式等价为2≤1-a≤2a+6，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{1-a≥2}\\{1-a≤2a+6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{a≤-1}\\{a≥-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，得-$\frac{5}{3}$≤a≤-1，
综上-$\frac{5}{3}$≤a≤-1或a≥3，
故选：C．

点评 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，求出圆心坐标和半径，利用圆与圆相交的等价条件建立不等式关系是解决本题的关键．