Question

3．已知函数$f（x）=2\sqrt{2}cosxsin（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、以及图象的对称性，得出结论．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）对于函数$f（x）=2\sqrt{2}cosxsin（x+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$cosx•（sinx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
=sin2x+2•cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函数的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
可得函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，属于中档题．